Question

设圆过双曲线

x2

4

-

y2

12

=1的一个顶点和一个焦点，圆心在双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是

2

6

．

Answer 1

分析：由双曲线的几何性质易知圆C过双曲线同一支上的顶点和焦点，可得圆心的横坐标为±3，故圆心坐标为（±3，±

15

），由此可求出它到双曲线中心的距离．

解答：解：由双曲线的几何性质易知圆C过双曲线同一支上
的顶点和焦点，如图所示：
设顶点为A、A′、焦点为F、F′．
故圆心为线段AF的垂直平分线与双曲线的交点，
或者为线段A′F′的垂直平分线与双曲线的交点．
由双曲线

x2

4

-

y2

12

=1可得，
a=2，b=2

3

，c=

a2+b2

=4，
故A（2，0）、F（4，0）、A′（-2，0）、F′（4，0），
所以，圆C的圆心的横坐标为±3．
再把x=±3代入双曲线方程可得y=±

15

，
故圆心坐标为（3，±

15

），C（-3，±

15

），
故圆心到双曲线中心的距离是

32+(± 15 )2

=2

6

，
故答案为 2

6

．

点评：本题考查双曲线的性质和应用，解题时注意圆的性质的应用，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．