Question

已知函数g（x）=x²-3（x∈R），f(x)=

g(x)+x+7 g(x)-x

2x＜g(x) 2x≥g(x)

，则y=f（x）-c有两个零点，则c的取值范围是（　　）

Answer 1

分析：由题意可得 f(x)=

x 2 +x+4  ， x＜-1 或x＞3 x2 -x -3 ，  -1≤x≤3

，函数y=f（x）与直线y=c有2个交点，数形结合求得c的取值范围．

解答：解：由2x＜g（x）可得 x＜-1，或 x＞3． 由2x≥g（x）可得-1≤x≤3．
∴f(x)=

g(x)+x+7  ， x＜-1 或x＞3 g(x)-x ，  -1≤x≤3

，即 f(x)=

x 2 +x+4  ， x＜-1 或x＞3 x2 -x -3 ，  -1≤x≤3

．
由y=f（x）-c有两个零点，可得函数y=f（x）与直线y=c有2个交点，如图所示：
其中，A（-1，4）、B（3，16）、C（-

1

2

，

15

4

）、M（-1，-1）、N（

1

2

，-

13

4

）、P（3，3）．
故当-

13

4

＜c≤1，或 c＞16时，y=f（x）与直线y=c有2个交点，
故c的取值范围是（-

13

4

，-1]∪（16，+∞），
故选 D．

点评：本题主要考查函数的零点的定义，函数的零点与方程的根的关系，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题．