Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n=2a_n-n，（n∈N^*）
（Ⅰ）求a₁，a₂，a₃的值；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）若b_n=（2n+1）a_n+2n+1，数列{b_n}的前n项和为T_n，求满足不等式

Tn-2

2n-1

≥128的最小n值．

Answer 1

分析：（1）由题设条件令n=1，2，3，解得a₁=1，a₂=3，a₃=7．
（2）由S_n=2a_n-n，得S_n-1=2a_n-1-（n-1），n≥2，n∈N^*，所以a_n=2a_n-1+1，由此可知a_n=2ⁿ-1．
（3）由题设可知T_n=3×2+5×2²+7×2³+…+（2n-1）•2^n-1+（2n+1）•2ⁿ，则2T_n=3×2²+5×2³+…+（2n-1）•2ⁿ+（2n+1）•2ⁿ，再由错位相减法可求出满足不等式

Tn-2

2n-1

≥128的最小n值．

解答：解：（1）因为S_n=2a_n-n，令n=1
解得a₁=1，再分别令n=2，n=3，解得a₂=3，a₃=7．
（2）因为S_n=2a_n-n，所以S_n-1=2a_n-1-（n-1），n≥2，n∈N^*
两式相减得a_n=2a_n-1+1
所以a_n+1=2（a_n-1+1），n≥2，n∈N^*
又因为a₁+1=2，所以a_n+1是首项为2，公比为2的等比数列
所以a_n+1=2ⁿ，所以a_n=2ⁿ-1．
（3）因为b_n=（2n+1）a_n+2n+1，
所以b_n=（2n+1）•2ⁿ
所以T_n=3×2+5×2²+7×2³+…+（2n-1）•2^n-1+（2n+1）•2ⁿ①
2T_n=3×2²+5×2³+…+（2n-1）•2ⁿ+（2n+1）•2ⁿ②
①-②得：-T_n=3×2+2（2²+2³+…+2ⁿ）-（2n+1）•2ⁿ⁺¹
=6+2×

4-2n× 2

1-2

-(2n+1)•2n+1
=-2-（2n-1）•2ⁿ⁺¹
所以T_n=2+（2n-1）•2ⁿ⁺¹
若

Tn-2

2n-1

≥128
则

2+(2n-1)•2n+1-2

2n-1

≥128
即2ⁿ⁺¹＞2⁷，解得n≥6，
所以满足不等式

Tn-2

2n-1

≥128的最小n值6．

点评：本题考查数列知识的综合运用和不等式的解法，解题时要认真审题，仔细解答．