Question

【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn ， a1=﹣ ，Sn+ =an﹣2（n≥2，n∈N）
（1）求S2 ， S3 ， S4的值；
（2）猜想Sn的表达式；并用数学归纳法加以证明．

Answer 1

【答案】
（1）

解： S1=a1=﹣ ，∵Sn+ =an﹣2（n≥2，n∈N），令n=2可得，

S2+ =a2﹣2=S2﹣a1﹣2，∴ = ﹣2，∴S2=﹣ ．

同理可求得 S3=﹣ ，S4=﹣ ．

（2）

解：猜想Sn=﹣ ，n∈N+，下边用数学归纳法证明：

①当n=2时，S2=a1+a2=﹣ ，猜想成立．

②假设当n=k时猜想成立，即SK=﹣ ．

则当n=k+1时，∵Sn+ =an﹣2，∴ ，

∴ ，∴ = ﹣2= ，

∴SK+1=﹣ ，∴当n=k+1时，猜想仍然成立．

综合①②可得，猜想对任意正整数都成立，即 Sn=﹣ ，n∈N+成立．

【解析】（1）S1=a1 ， 由S2+ =a2﹣2=S2﹣a1 求得S2 ， 同理求得 S3 ， S4 ． （2）猜想Sn=﹣ ，n∈N+ ， 用数学归纳法进行证明．
【考点精析】掌握归纳推理是解答本题的根本，需要知道根据一类事物的部分对象具有某种性质,退出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推理．