Question

如图所示,在长方体ABCD-A′B′C′D′中,用截面截下一个棱锥C-A′DD′,求棱锥C-A′DD′的体积与剩余部分的体积之比.

Answer 1

方法一:设AB=a,AD=b,DD′=c,?

则长方体ABCD-A′B′C′D′的体积V=abc,?

又S_△A′DD′=bc,且三棱锥C-A′DD′的高为CD=a.?

∴V_{三棱锥C-A′DD′}=.?

则剩余部分的几何体积V_剩=abc-abc=abc.??

故V_{棱锥C-A′D′D}∶V_剩=abc∶abc=1∶5.?

方法二:已知长方体可以看成侧棱垂直于底面的四棱柱ADD′A′-BCC′B′,设它的底面ADD′A′面积为S,高为h,则它的体积为V=Sh.?

而棱锥C-A′DD′的底面面积为S,高为h,?

因此棱锥CA′DD′的体积V _C-A′DD′=×Sh=Sh.

余下的体积是Sh-Sh=Sh.

所以棱锥C-A′DD′的体积与剩余部分的体积之比为Sh∶Sh=1∶5.?

解析:

解答本题可先求出整个长方体的体积,再求出截下的三棱锥的体积,从而求出剩余部分的体积

①此题是几何体的分割问题;②要求体积需先求底面积再求高.?