Question

已知函数f（x）=4x³+ax²+bx+5在x=-1与x=

3

2

处有极值．
（Ⅰ）写出函数的解析式；
（Ⅱ）求出函数的单调区间与极值；
（Ⅲ）求f（x）在[-3，2]上的最值．

Answer 1

分析：首先求出函数的导数，然后f′（-1）=0，f′（

3

2

）=0，解出a、b的值，（Ⅰ）求出函数的解析式；
（Ⅱ）f′（x）＜0，求出函数的单调区间；求出函数的增区间，然后求出函数的极值．
（Ⅲ）由（Ⅱ）求出端点处函数值，从而求出函数f（x）在[-3，2]上的最大值和最小值．

解答：解：（Ⅰ）解：f′（x）=12x²+2ax+b，依题意有f′（-1）=0，f（

3

2

）=0，
即

12-2a+b=0 27+3a+b=0

得

a=-3 b=-18

所以f（x）=4x³-3x²-18x+5
（Ⅱ）f′（x）=12x²-6x-18＜0，
∴（-1，

3

2

）是函数的减区间
（-∞，-1），（

3

2

，+∞）是函数的增区间．
减区间为（-1，

3

2

），
所以，函数的极大值为16，函数的极小值为-

61

4

（Ⅲ）f（-3）=-76，
f（

3

2

）=-

61

4

，
f（2）=-11，由（Ⅰ）知极大值为16，
∴最大值为f（x）_max=16，最小值为f（x）_min=-76

点评：此题主要考查多项式函数的导数，函数单调性的判定，函数最值，函数、方程等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力及分析与解决问题的能力，难度不大．