Question

现有一组互不相同的从小到大排列的数据：a₀，a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，其中a₀=0．为提取反映数据间差异程度的某种指标，今对其进行如下加工：记T=a0+a1+…+a5，xn=

n

5

，yn=

1

T

(a0+a1+…+an)，作函数y=f（x），使其图象为逐点依次连接点P_n（x_n，y_n）（n=0，1，2，…，5）的折线．
（I）求f（0）和f（1）的值；
（II）设P_n-1P_n的斜率为k_n（n=1，2，3，4，5），判断k₁，k₂，k₃，k₄，k₅的大小关系；
（III）证明：当x∈（0，1）时，f（x）＜x．

Answer 1

分析：（I）直接根据定义即可得到f（0）和f（1）的值；
（II）先根据两点式写出直线的斜率，再根据a₀，a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，是按从小到大的顺序排列即可得到结论；
（III）由于f（x）的图象是连接各点P_n（x_n，y_n）（n=0，1，…，5）的折线，把问题转化为证明f（x_n）＜x_n（n=1，2，3，4）；再对f（x）的表达式进行放缩即可得到结论．

解答：解：（I）解：f（0）=

a0

a0+a1+a2+a3+a4+a5

=0，
f（1）=

a0+…+a5

a0+…+a5

=1．
（II）解：k_n=

yn-yn-1

xn-xn-1

=

5

Tn

an，n=1，2，…，5，
因为a₁＜a₂＜a₃＜a₄＜a₅，
所以k₁＜k₂＜k₃＜k₄＜k₅．
（III）证明：由于f（x）的图象是连接各点P_n（x_n，y_n）（n=0，1，…，5）的折线，
要证明f（x）＜x（0＜x＜1），只需证明f（x_n）＜x_n（n=1，2，3，4）．
事实上，当x∈（x_n-1，x_n）时，
f（x）=

f(xn)-f(xn-1)

xn-xn-1

（x-x_n-1）+f（x_n-1）
=

xn-x

xn-xn-1

f（x_n-1）+

x-xn-1

xn-xn-1

f（x_n）
＜

xn-x

xn-xn-1

xn-1+

x-xn-1

xn-xn-1

xn=x．
下面证明f（x_n）＜x_n．
对任何n（n=1，2，3，4），
5（a₁+…+a_n）=[n+（5-n）]（a₁+…+a_n）
=n（a₁+…+a_n）+（5-n）（a₁+…+a_n）
≤n（a₁+…+a_n）+（5-n）na_n=n[a₁+…+a_n+（5-n）a_n]
＜n（a₁+…+a_n+a_n+1+…+a₅）=nT．
所以f（x_n）=

a1+…+an

T

＜

n

5

=x_n．

点评：本题主要考查函数知识、斜率公式、分析问题解决问题的能力，结合已知采用分析法将所求问题转化到能够解决的范围内．