Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，S_n=

1

3

（a_n-1）（n∈N^*）
（1）求a₁，a₂，a₃的值．
（2）求a_n的通项公式．

Answer 1

分析：（1）先把n=1代入S_n=

1

3

（a_n-1）可以求得首项，再把n=2，3依次代入即可求出a₂，a₃的值．
（2）直接利用a_n和S_n的关系：a_n=S_n-S_n-1 （n≥2）得到数列的递推关系，再整理得到规律即可求出数列的通项公式．

解答：解：（1）由S₁=a₁=

1

3

（a₁-1），得a₁=-

1

2

．
S₂=a₁+a₂=

1

3

（a₂-1）得a2=

1

4

同理a3=-

1

8

．
（2）当n≥2时，a_n=s_n-s_n-1=

1

3

（a_n-1）-

1

3

（a_n-1-1）?-2a_n=a_n-1?

an

an-1

=-

1

2

所以数列{a_n}是首项为-

1

2

，公比为-

1

2

的等比数列．
所以a_n=(-

1

2

)n

点评：本题第二问考查了已知前n项和为S_n求数列{a_n}的通项公式，根据a_n和S_n的关系：a_n=S_n-S_n-1 （n≥2）求解数列的通项公式．另外，须注意公式成立的前提是n≥2，所以要验证n=1时通项是否成立，若成立则：a_n=S_n-S_n-1 （n≥1）；若不成立，则通项公式为分段函数．