Question

已知函数f（x）=

1

2

x⁴-2x³+3m，x∈R，若f（x）+9≥0恒成立，则实数m的取值范围是

m≥

3

2

．

Answer 1

分析：要找m的取值使f（x）+9≥0恒成立，思路是求出f′（x）并令其等于零找出函数的驻点，得到函数f（x）的最小值，使最小值大于等于-9即可求出m的取值范围．

解答：解析：因为函数f（x）=

1

2

x⁴-2x³+3m，
所以f′（x）=2x³-6x²，
令f′（x）=0，得x=0或x=3，
经检验知x=3是函数的一个最小值点，
所以函数的最小值为f（3）=3m-

27

2

，
因为不等式f（x）+9≥0恒成立，即f（x）≥-9恒成立，
所以3m-

27

2

≥-9，解得m≥

3

2

．
故答案：m≥

3

2

．

点评：本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值、函数恒成立问题等等知识点，属于中档题．