Question

设数列{a_n}是等差数列，{b_n}是各项均为正数的等比数列，且a₁=b₁，a₃+b₅=21，a₅+b₃=13，
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）若数列{}的前n项和为S_n，试比较S_n与4的大小关系．

Answer 1

【答案】分析：（1）设{a_n}的公差为d，{b_n}的公比为q，根据等比数列和等差数列的通项公式，联立方程求得d和q，进而可得{a_n}、{b_n}的通项公式．
（2）数列的通项公式由等差和等比数列构成，进而可用错位相减法求得前n项和S_n．利用作差法比较S_n与4的大小关系．
解答：解：（1）设{a_n}的公差为d，{b_n}的公比为q，则依题意有q＞0且
解得d=2，q=2．
所以a_n=1+（n-1）d=2n-1，b_n=q^n-1=2^n-1．
（2）．
，①
∴，②
②-①得
=
=
=．
S_n-4=，
由S_n-4＜0得出2ⁿ＜2n+3，解得n=1，2，3，
由S_n-4＞0得出2ⁿ＞2n+3，解得n=4，5，6，…．
所以当n≤3时S_n＜4，当n≥4时S_n＞4．
点评：本题主要考查数列的通项公式、错位相消法求和．不等关系的比较．考查计算能力．