Question

某产品生产x单位产品时的总成本函数为C(x)=300+

1

12

x3-5x2+170x．每单位产品的价格是134元，求使利润最大时的产量．

Answer 1

分析：设总收益R（x）=134x，利润L（x）=R（x）-C（x），在定义域内用导数可求利润函数的最大值．

解答：解：由题意，生茶x单位产品时，总收益R（x）=134x，
利润为：L（x）=R（x）-C（x）=134x-（300+

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12

x3-5x2+170x）
=-

1

12

x3+5x2-36x-300，其定义域为[0，+∞）．
L′（x）=-

1

4

x2+10x-36=-

1

4

(x-36)(x-4)，
令L′（x）=0，得x₁=4，x₂=36，
又∵L(0)=-300，L(4)=-369

1

3

，L(36)=996，
且当4＜x＜36时，L′（x）＞0，即L（x）单调递增；当x＞36时，L′（x）＜0，即L（x）单调递减．∴L（36）=996是L（x）的最大值．
因此工厂生产36单位产品时有最大利润996元．

点评：本题考查导数在实际问题中的应用，解决关键是根据问题背景构造相应的函数模型，从而可运用导数处理．