Question

4．已知S_n是等比数列{a_n}的前n项的和，a₂，a₈，a₅成等差数列．
（1）求等比数列{a_n}的公比q；
（2）判断S₃，S₉，S₆是否成等差数列？若成等差数列，请给出证明；若不成等差数列，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据等差中项的性质和等比数列的通项公式列出方程，求出公比q；
（2）由（1）求出公比进行分类讨论，分别根据等差中项的性质进行判断即可．

解答 解：（1）由题意得：2a₈=a₂+a₅…（1分）
所以$2{a_1}{q^7}={a_1}q+{a_1}{q^4}$，
因为a₁q≠0，所以2q⁶=1+q³，则2q⁶-q³-1=0…（4分）
解得${q^3}=1或{q^3}=-\frac{1}{2}$，所以 $q=1或q={\;}^3\sqrt{-\frac{1}{2}}$．…（7分）
证明：（2）①当q=1时，因为2S₉≠S₃+S₆，
所以q=1时S₃，S₉，S₆不成等差数列；     …（10分）
②当q≠1时，知${q^3}=-\frac{1}{2}$，
所以$2{S_9}=\frac{{2{a_1}（1-{q^9}）}}{1-q}=\frac{{2{a_1}}}{1-q}•\frac{9}{8}=\frac{{9{a_1}}}{4（1-q）}$，
${S_3}+{S_6}=\frac{{{a_1}（1-{q^3}）}}{1-q}+\frac{{{a_1}（1-{q^6}）}}{1-q}=\frac{{9{a_1}}}{4（1-q）}$．
所以2S₉=S₃+S₆，
所以q≠1时，S₃，S₉，S₆成等差数列．…（13分）
综上：当q=1时S₃，S₉，S₆不成等差数列；
当q≠1时，S₃，S₉，S₆成等差数列．（14分）

点评 本题考查等比数列的通项公式，以及等差中项的性质的应用，属于中档题．