Question

已知函数f（x）=cos（

π

3

+x）cos（

π

3

-x），g（x）=

1

2

sin2x-

1

4

．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数h（x）=f（x）-g（x）的最大值，并求使h（x）取得最大值的x的集合．

Answer 1

分析：（1）利用两角和与差的余弦公式将f（x）展开，化简得f（x）=

1

4

cos²x-

3

4

sin²x，再根据二倍角的余弦公式化简整理，即可得到f（x）=

1

2

cos2x-

1

4

，结合三角函数的周期公式即可算出函数f（x）的最小正周期；
（2）根据（1）中化简的结果，得h（x）=f（x）-g（x）=

1

2

sin2x-

1

2

cos2x，利用辅助角公式合并得h（x）=

2

2

sin（2x-

π

4

），再由三角函数的图象与性质，即可得到使h（x）取得最大值的x的集合．

解答：解：（1）f（x）=cos（

π

3

+x）cos（

π

3

-x）
=（cos

π

3

cosx-sin

π

3

sinx）（cos

π

3

cosx+sin

π

3

sinx）
=cos²

π

3

cos²x-sin²

π

3

sin²x=

1

4

cos²x-

3

4

sin²x，
∵cos²x=

1+cos2x

2

，sin²x=

1-cos2x

2

∴f（x）=

1

4

×

1+cos2x

2

-

3

4

×

1-cos2x

2

=

1

2

cos2x-

1

4

因此，函数f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π；
（2）由（1）得f（x）=

1

2

cos2x-

1

4

，
∴h（x）=f（x）-g（x）=

1

2

cos2x-

1

4

-（

1

2

sin2x-

1

4

）=

1

2

sin2x-

1

2

cos2x
∵

1

2

sin2x-

1

2

cos2x=

2

2

sin（2x-

π

4

）
∴当2x-

π

4

=

π

2

+2kπ，即x=

3π

8

+kπ（k∈Z）时，

1

2

sin2x-

1

2

cos2x取得最大值为

2

2

由此可得使h（x）取得最大值的x的集合为{x|x=

3π

8

+kπ，k∈Z}

点评：本题给出三角函数表达式，求函数的最小正周期并求当函数取得最大值时x的集合．着重考查了三角函数的图象与性质和三角恒等变换公式等知识，属于中档题．