Question

已知数列{a_n}的前n项和是S_n，且Sn+

1

2

an=1．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=log₃（1-S_n+1），求适合方程

1

b1b2

+

1

b2b3

+…+

1

bnbn+1

=

25

51

的n的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）令n=1，得到a1=

2

3

，当n≥2时，求出Sn-1=1-

1

2

an-1和Sn=1-

1

2

an，两者相减，利用a_n=s_n-s_n-1得到∴{a_n}是以

2

3

为首项，

1

3

为公比的等比数列．求出通项公式即可；
（Ⅱ）求出1-Sn=

1

2

an=(

1

3

)n，代入b_n=log₃（1-S_n+1）中得b_n=-n-1
利用

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

化简等式得到关于n的方程，求出解即可．

解答：解：（Ⅰ）当n=1时，a₁=S₁，由S1+

1

2

a1=1，得a1=

2

3

．
当n≥2时，
∵Sn=1-

1

2

an，Sn-1=1-

1

2

an-1，
∴Sn-Sn-1=

1

2

(an-1-an)，即an=

1

2

(an-1-an)．
∴an=

1

3

an-1．
∴{a_n}是以

2

3

为首项，

1

3

为公比的等比数列．
故an=

2

3

•(

1

3

)n-1=2•(

1

3

)n． （7分）

（Ⅱ）1-Sn=

1

2

an=(

1

3

)n，
b_n=log3(1-Sn+1)=log3(

1

3

)n+1=-n-1，（9分）

1

bnbn+1

=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

1

b1b2

+

1

b2b3

++

1

bnbn+1

=(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)++(

1

n+1

-

1

n+2

)=

1

2

-

1

n+2

（11分）
解方程

1

2

-

1

n+2

=

25

51

，得n=100（14分）

点评：考查学生灵活运用做差法求数列通项公式的能力，以及会求等比数列的通项公式及前n项和的公式．