Question

已知函数f（x）=2^x+1（x∈R）．
（1）若f（x）可以表示为一个偶函数g（x）与一个奇函数h（x）之和，设h（x）=t，p（t）=g（2x）-2h（x），求p（t）的解析式；
（2）若p（t）≥m²-2m对于x∈[1，2]恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用f（x）=g（x）+h（x）和f（-x）=g（-x）+h（-x）求出g（x）和h（x）的表达式，再求出p（t）关于t的表达式即可．
（2）先有x∈[1，2]找出t的范围，在把所求问题转化为求p（t）在[

3

2

，

15

4

]的最小值．让大于等于m²-2m即可．

解答：解：（1）假设f（x）=g（x）+h（x）①，其中g（x）偶函数，h（x）为奇函数，
则有f（-x）=g（-x）+h（-x），即f（-x）=g（x）-h（x）②，
由①②解得g（x）=

1

2

[f（x）+f（-x）]，h（x）=

1

2

[f（x）-f（-x）]，
∵f（x）定义在R上，∴g（x），h（x）都定义在R上．
∵g（-x）=

1

2

[f（-x）+f（x）]=g（x），h（-x）=12[f（-x）-f（x）]=-h（x）．
∴g（x）是偶函数，h（x）是奇函数，
∵f（x）=2^x+1，
∴g（x）=

1

2

[f（x）+f（-x）]=

1

2

（2^x+1+2^-x+1）=2^x+2^-x，
h（x）=

1

2

[f（x）-f（-x）]=

1

2

（2^x+1-2^-x+1）=2^x-2^-x．
由2^x-2^-x=t，则t∈R，
平方得t²=（2^x-2^-x）²=2^2x-2^-2x-2，
∴g（2x）=2^2x+2^-2x=t²+2，
∴p（t）=t²-2t+2．
（2）∵t=h（x）关于x∈[1，2]单调递增，
∴

3

2

≤t≤

15

4

．
∴p（t）=t²-2t+2≥m²-2m对于t∈[

3

2

，

15

4

]恒成立，
∴m²-2m≤（t-1）²+1对于t∈[

3

2

，

15

4

]成立，
令φ（t）=（t-1）²+1，则∵t∈[

3

2

，

15

4

]，故φ（t）单调递增，
φ（t）_min=φ（

3

2

）=

5

4

∴m²-2m≤

5

4

解得-

1

2

≤m≤

5

2

点评：本题是在考查指数函数的基础上对函数的恒成立问题，函数奇偶性以及一元二次方程根的判断的综合考查，是一道综合性很强的难题．