题目内容
已知二次函数f（x）=ax2+x，（a∈R）。
（1）当0＜a＜
时，f（sinx）（x∈R）的最大值为
，求f（x）的最小值；
（2）对于任意的x∈R，总有|f（sinxcosx）|≤1。试求a的取值范围；
（3）若当n∈N*时，记
，令a=1，求证：
成立。
（1）当0＜a＜
时，f（sinx）（x∈R）的最大值为，求f（x）的最小值；（2）对于任意的x∈R，总有|f（sinxcosx）|≤1。试求a的取值范围；
（3）若当n∈N*时，记
，令a=1，求证：成立。解：（1）由
知
故当
时，f（x）取得最大值
即
∴
∴
所以f（x）的最小值为-1。
（2）∵对于任意的x∈R，总有|
|≤1
令
则命题转化为
，不等式
恒成立
当
时，
使
成立
当
时，有
对于任意的
恒成立
∵
∴
或
则
故要使①式成立，则有
又
故要使②式成立，则有
由题意
综上
。
（3）由题意
令
则
∴
在
时单调递增
∴
又
∴
综上，原结论成立。
知故当
时，f（x）取得最大值即
∴
∴
所以f（x）的最小值为-1。
（2）∵对于任意的x∈R，总有|
|≤1令
则命题转化为
，不等式恒成立当
时，使成立当
时，有对于任意的
恒成立∵
∴
或则
故要使①式成立，则有
又
故要使②式成立，则有
由题意
综上
。（3）由题意
令
则
∴
在时单调递增∴
又
∴
综上，原结论成立。
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