Question

定义在R上的函数f（x）满足：f(x+2)=

1-f(x)

1+f(x)

，当x∈（0，4）时，f（x）=x²-1，则f（2011）=

 

．

Answer 1

分析：由题意令x=x+2代入关系式在进行化简，求出函数的周期为4，再利用周期得f（2011）=f（3），再代入给出的解析式求解．

解答：解：由题意知，定义在R上的函数f（x）有 f(x+2)=

1-f(x)

1+f(x)

，
则令x=x+2代入得，∴f（x+4）=

1-f(x+2)

1+f(x+2)

=

1- 1-f(x) 1+f(x)

1+ 1-f(x) 1+f(x)

=f（x），
∴函数f（x）是周期函数且T=4，
∴f（2011）=f（4×502+3）=f（3），
∵当x∈（0，4）时，f（x）=x²-1，∴f（3）=8．
即f（2011）=8．
故答案为：8．

点评：本题考查了函数周期性的运用，关键是利用已知的式子整体代换后进行变形，求出函数的周期后在利用周期将所求的函数值转化到已知的范围内求解．