Question

19．如图，正方形ABCD所在平面与正方形ABB₁A₁所在的平面垂直，且AB等于1．设E、F分别为AB、BC上的动点，（不包括端点）
（1）若BE=BF．求证：平面BDB₁⊥平面B₁EF．
（2）设AE=BF=x，求异面直线A₁E与B₁F所成的角取值范围．

Answer 1

分析 （1）连结AC，由已知推导出EF⊥BD，EF⊥BB₁，由此能证明平面BDB₁⊥面B₁EF．
（2）在AD上取点H，使AH=BF=AE，则HF∥CD∥A₁B₁，HF=CD=A₁B₁，A₁H∥B₁F，从而得到∠HA₁E是异面直线A₁E与B₁F所成的角（或所成角的补角），由此能求出异面直线A₁E与B₁F所成的角取值范围．

解答 （1）证明：连结AC，∵BE=BF，∴EF∥AC，而BD⊥AC，∴EF⊥BD，①
∵正方形ABCD所在平面与正方形ABB₁A₁所在的平面垂直，
∴B₁B⊥面ABCD，且EF?面ABCD，∴EF⊥BB₁，②
又BD∩BB₁=B，∴由①②，得到EF⊥面BDB₁
又EF?面B₁EF，故平面BDB₁⊥面B₁EF．…（5分）
（2）解：在AD上取点H，使AH=BF=AE，则HF∥CD∥A₁B₁，
HF=CD=A₁B₁，A₁H∥B₁F，
∴∠HA₁E是异面直线A₁E与B₁F所成的角（或所成角的补角），
在Rt△A₁AH中，${A}_{1}H=\sqrt{{1}^{2}+{x}^{2}}$，
在Rt△A₁AE中，A₁E=$\sqrt{{1}^{2}+{x}^{2}}$，
在Rt△HAE中，HE=$\sqrt{{x}^{2}+{x}^{2}}$=$\sqrt{2}x$，
在△HA₁E中，cos∠HA₁E=$\frac{{A}_{1}{H}^{2}+{A}_{1}{E}^{2}-E{H}^{2}}{2{A}_{1}H•{A}_{1}E}$=$\frac{1}{1+{x}^{2}}$，
∵0＜x＜1，∴1＜x²+1＜2，
∴$\frac{1}{2}＜\frac{1}{{x}^{2}+1}＜1$，即$\frac{1}{2}＜cos∠H{A}_{1}E＜1$，∴0＜∠HA₁E＜$\frac{π}{3}$．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查异面直线所成角的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．