Question

已知函数f （x）=a^x+2-1（a＞0，且a≠1）的反函数为f^-1（x）．
（1）求f^-1（x）；
（2）若f^-1（x）在[0，1]上的最大值比最小值大2，求a的值；
（3）设函数g（x）=loga

a

x-1

，求不等式g（x）≤f^-1（x）对任意的a∈[

1

3

，

1

2

]恒成立的x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由y=f （x）=a^x+2-1，求得x=log_a（y+1）-2，即可得f^-1（x）；
（2）对底数a分a＞1与0＜a＜1两类讨论，分别求得其最大值与最小值，利用f^-1（x）在[0，1]上的最大值比最小值大2，即可求得a的值；
（3）由题意可得

x+1

a2

≤

a

x-1

，a∈[

1

3

，

1

2

]，转化为不等式x²≤a³+1对任意的a∈[

1

3

，

1

2

]恒成立，从而可求得x的取值范围．

解答：解：（1）令y=f （x）=a^x+2-1，于是y+1=a^x+2，
∴x+2=log_a（y+1），即x=log_a（y+1）-2，
∴f^-1（x）=log_a（x+1）-2（x＞-1）．…（3分）
（2）当0＜a＜1时，f^-1（x）_max=loga（0+1）-2=-2，f^-1（x）_min=log_a（1+1）-2=log_a2-2，
∴-2-（log_a2-2）=2，解得a=

2

2

或a=-

2

2

（舍）．…（5分）
当a＞1时，f^-1（x）_max=log_a2-2，f^-1（x）_min=-2，
∴（log_a2-2）-（-2）=2，解得a=

2

或a=-

2

（舍）．
∴综上所述，a=

2

2

或a=

2

．…（7分）
（3）由已知有loga

a

x-1

≤log_a（x+1）-2，即loga

a

x-1

≤loga

x+1

a2

对任意的a∈[

1

3

，

1

2

]恒成立…（8分）
∵a∈[

1

3

，

1

2

]，
∴

x+1

a2

≤

a

x-1

①…（10分）
由

x+1

a2

＞0且

a

x-1

＞0知x+1＞0且x-1＞0，即x＞1，于是①式可变形为x²-1≤a³，
即等价于不等式x²≤a³+1对任意的a∈[

1

3

，

1

2

]恒成立．…（12分）
∵u=a³+1在a∈[

1

3

，

1

2

]上是增函数，
∴

28

27

≤a³+1≤

9

8

，于是x²≤

28

27

，
解得-

2 21

9

≤x≤

2 21

9

．结合x＞1得1＜x≤

2 21

9

．
∴满足条件的x的取值范围为（1，

2 21

9

]．…（14分）

点评：本题考查反函数，考查函数的最值及其几何意义，考查函数恒成立问题，综合性强，考查化归思想、方程思想、分类讨论思想的综合运用，属于难题．