Question

22、已知a_n=4n+5，b_n=3ⁿ，求证：对任意正整数n，都存在正整数p，使得a_p=b_n²成立．

Answer 1

分析：利用二项式定理进行转化是解决本题的关键，关键要理解a_n=4n+5表示的是被4除余1的数，进行拆项转化的技巧．

解答：解：a_n=4n+5=4（n+1）+1，表示的是被4除余1的数，
而b_n²=9ⁿ=（8+1）ⁿ=C_n⁰8ⁿ+C_n¹8^n-1+…+C_n^n-1•8+1，展开式除最后一项之外均为8也为4的倍数，
因此b_n²表示被4除余1的数，
因此，对任意正整数n，都存在正整数p，使得a_p=b_n²成立．

点评：本题考查整数之间关系的理解和认识，考查二项式展开式的理解和运用，考查学生的转化与化归思想，关键要寻找已知等式两边数的特性，进行探究性问题的求解．