Question

如图，在多面体ABDEC中，AE⊥平面ABC，BD∥AE，且AC=AB=BC=AE=1，BD=2，F为CD中点．
（I）求证：EF∥平面ABC；
（II）求证：EF⊥平面BCD；
（III）求多面体ABDEC的体积．

Answer 1

证明：（Ⅰ）取BC中点G点，连接AG，FG，
∵F，G分别为DC，BC中点，
∴FGDBEA，
∴四边形EFGA为平行四边形，
∴EF∥AG．
又∵EF?平面ABC，AG?平面ABC，
∴EF∥平面ABC，…．4分
（2）∵AE⊥面ABC，BD∥AE，
∴DB⊥平面ABC，
又∵DB?平面BCD，
∴平面ABC⊥平面BCD，
又∵G为 BC中点且AC=AB=BC，
∴AG⊥BC，
∴AG⊥平面BCD，
又∵EF∥AG，
∴EF⊥平面BCD …．8分
（3）过C作CH⊥AB，则CH⊥平面ABDE且CH=，
∴V_C-ABDE=×S_{四边形ABDE}×CH
=××1×
=…12分．
分析：（Ⅰ）取BC中点G点，连接AG，FG，则四边形EFGA为平行四边形，于是EF∥AG，利用线面平行的判定定理即可证得EF∥平面ABC；
（Ⅱ）易证AG⊥平面BCD，而EF∥AG，从而由线面垂直的性质可得EF⊥平面BCD；
（Ⅲ）过C作CH⊥AB，则CH⊥平面ABDE易求CH=，而V_C-ABDE=×S_{四边形ABDE}×CH，计算即可．
点评：本题考查直线与平面平行的判定与直线与平面垂直的判定，掌握直线与平面平行与垂直的判定定理是解决问题之关键，考查分析与运算、准确书写与完整表达的能力，属于中档题．