Question

19．已知函数f(x)=ax³-3x²+1-.

(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性；

(Ⅱ)若曲线y=f(x)上两点A、B处的切线都与y轴垂直，且线段AB与x轴有公共点，求实数a的取值范围.

Answer 1

(Ⅰ)由题设知a≠0,f′(x)=3ax²-6x=3ax(x-)．

    令f′(x)=0得x₁=0，  x₂=.

    (ⅰ)当a＞0时，

    若x∈(-∞，0)，则f′(x)＞0，所以f(x)在区间(-∞，0)上是增函数；

    若x∈(0，)，则f′(x)＜0，所以f(x)在区间(0，)上是减函数;

    若x∈(，+∞)，则f′(x)＞0，所以f(x)在区间(，+∞)上是增函数．

    (ⅱ)当a＜0时，

    若x∈(-∞，)，则f′(x)＜0，所以f(x)在区间(-∞，)上是减函数：

    若x∈(，0)，则f′(x)＞0，所以f(x)在区间(，0)上是增函数；

    若x∈(0，+∞)，则f′(x)＜0，所以f(x)在区间(0，+∞)上是减函数．

    (Ⅱ)由(Ⅰ)的讨论及题设知，曲线y=f(x)上的两点A、B的纵坐标均为函数的极值，且函数y=f(x)在x=0，x=处分别取得极值f(0)=1-，f()=-+1．

    因为线段AB与x轴有公共点，所以f(0)·f()≤0．

    即(-+1)(1-)≤0．所以≤0.

    故a(a+1)(a-3)(a-4)≤0且a≠0．

  解得-1≤a<0或3≤a≤4．

  即所求实数a的取值范围是［－1，0］∪[3，4]．