Question

对于函数f(x),若存在x₀∈R,使f(x₀)=x₀成立,则称x₀为f(x)的不动点,已知函数f(x)=ax²+(b+1)x+(b-1)(a≠0).

(1)当a=1,b=-2时,求函数f(x)的不动点;

(2)若对任意实数b,函数f(x)恒有两个相异的不动点,求a的取值范围；

(3)在(2)的条件下,若y=f(x)图象上A、B两点的横坐标是函数f(x)的不动点,且A、B两点关于直线y=kx+对称,求b的最小值.

Answer 1

解：(1)当a=1,b=-2时,f(x)=x²-x-3.

    由题意可知x=x²-x-3,得x₁=-1,x₂=3.

    故当a=1,b=-2时,f(x)的两个不动点为-1、3.

(2)因为f(x)=ax²+(b+1)x+(b-1)(a≠0)恒有两个不动点,

    所以x=ax²+(b+1)x+(b-1),

    即ax²+bx+(b-1)=0恒有两个相异的实数根,得Δ=b²-4ab+4a＞0(b∈R)恒成立.

    于是Δ′=(4a)²-16a＜0,解得 0＜a＜1.

    故当b∈R,f(x)恒有两个相异的不动点时,a的取值范围为0＜a＜1.

(3)由题意,A、B两点应在直线y=x上,

    设A(x₁,x₁)、B(x₂,x₂)，

    因为点A、B关于直线y=kx+对称,

    所以k=-1.

    设AB的中点为M(x′,y′),

    因为x₁、x₂是方程ax²+bx+(b-1)=0的两个根,所以,x′=y′==-.

    于是,由点M在直线y=-x+上,得-=+,

    即b=-=-.

    因为a＞0,所以2a+≥2.

    当且仅当2a=,即a=∈(0,1)时取等号.

    故b≥-,得b的最小值为-.