Question

已知函数f(x)=-x²+8x,g(x)=6lnx+m.

(1)求f(x)在区间［t,t+1］上的最大值h(t).

(2)是否存在实数m,使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.

Answer 1

思路分析:本题主要考查函数的单调性、极值、最值等基本知识,考查运用导数研究函数性质的方法,考查运算能力,考查函数与方程、数形结合、分类与整合等数学思想方法和分析问题、解决问题的能力.

解:(1)f(x)=-x²+8x=-(x-4)²+16.

当t+1＜4,即t＜3时,f(x)在［t,t+1］上单调递增,

h(t)=f(t+1)=-(t+1)²+8(t+1)=-t²+6t+7;

当t≤4≤t+1,即3≤t≤4时,h(t)=f(4)=16;

当t＞4时,f(x)在［t,t+1］上单调递减,

h(t)=f(t)=-t²+8t.

综上,h(t)=

(2)函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点,即函数φ(x)=g(x)-f(x)

的图象与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点.

∵φ(x)=x²-8x+6lnx+m,

∴φ′(x)=2x-8+(x＞0).

当x∈(0,1)时,φ′(x)＞0,φ(x)是增函数;

当x∈(0,3)时,φ′(x)＜0,φ(x)是减函数;

当x∈(3,+∞)时,φ′(x)＞0,φ(x)是增函数;

当x=1或x=3时,φ′(x)=0.

∴φ(x)_最大值=φ(1)=m-7,φ(x)_最小值=φ(3)=m+6ln3-15.

∴当x充分接近0时,φ(x)＜0,当x充分大时,φ(x)＞0.

∴要使φ(x)的图象与x轴正半轴有三个不同的交点,必须且只需

即7＜m＜15-6ln3.

∴存在实数m,使得函数y=f(x)与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点,m的取值范围为(7,15-6ln3).