题目内容

设点F是抛物线L：y²=4x的焦点，P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），…P_n（x_n，y_n）是抛物线L上的n个不同的点n（n≥3，n∈N^*）
（1）若抛物线L上三点P₁、P₂、P₃的横坐标之和等于4，求 $数学公式$ 的值；
（2）当n≥3时，若 $数学公式$ ，求证： $数学公式$ ；
（3）若将题设中的抛物线方程y²=4x推广为y²=2px（p＞0），请类比小题（2），写出一个一般化的命题及其逆命题，并判断其逆命题的真假．若是真命题，请予以证明；若是假命题，请说明理由．

解：（1）抛物线l的焦点为F（1，0），设P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），P₃（x₃，y₃），
分别过P₁、P₂、P₃作抛物线的准线l的垂线，垂足分别为Q₁、Q₂、Q₃，
∴ $\text{[math]}$ =（x₁+ $\text{[math]}$ ）+（x₂+ $\text{[math]}$ ）+（x₃+ $\text{[math]}$ ）=x₁+x₂+x₃+3
∵x₁+x₂+x₃=4，∴ $\text{[math]}$ =7
（2）设P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），P₃（x₃，y₃），…，P_n（x_n，y_n），分别过P₁、P₂、P₃，…，P_n作抛物线的准线l的垂线，垂足分别为Q₁、Q₂、Q₃，…，Q_n
∴ $\text{[math]}$ =（x₁+1）+（x₂+1）+（x₃+1）+…+（x_n+1）=x₁+x₂+x₃+…+x_n+n
∵ $\text{[math]}$
∴x₁+x₂+x₃+…+x_n=n
∴ $\text{[math]}$ =n+n=2n
（3）当n≥3时，若 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；
逆命题：当n≥3时，“若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ”
设P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），P₃（x₃，y₃），…，P_n（x_n，y_n），分别过P₁、P₂、P₃，…，P_n作抛物线的准线l的垂线，垂足分别为Q₁、Q₂、Q₃，…，Q_n
∴ $\text{[math]}$ =（x₁+ $\text{[math]}$ ）+（x₂+ $\text{[math]}$ ）+（x₃+ $\text{[math]}$ ）+…+（x_n+ $\text{[math]}$ ）=x₁+x₂+x₃+…+x_n+ $\text{[math]}$
∵ $\text{[math]}$
∴x₁+x₂+x₃+…+x_n= $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =np
逆命题为假命题：取n=4时，抛物线l的焦点为F（ $\text{[math]}$ ，0），设P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），P₃（x₃，y₃），P₄（x₄，y₄），分别过P₁、P₂、P₃，P₄作抛物线的准线l的垂线，垂足分别为Q₁、Q₂、Q₃，Q₄，
∴ $\text{[math]}$ =x₁+x₂+x₃+x₄+2p=4p
∴x₁+x₂+x₃+x₄=2p
不妨取 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$
故 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是一个当n=4时，该逆命题的一个反例．
分析：（1）抛物线l的焦点为F（1，0），设P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），P₃（x₃，y₃），利用抛物线的定义，结合x₁+x₂+x₃=4，可得结论；
（2）设P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），P₃（x₃，y₃），…，P_n（x_n，y_n），分别过P₁、P₂、P₃，…，P_n作抛物线的准线l的垂线，垂足分别为Q₁、Q₂、Q₃，…，Q_n，利用抛物线的定义可得x₁+x₂+x₃+…+x_n=n，从而可证 $\text{[math]}$ =2n
（3）当n≥3时，若 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；
逆命题：当n≥3时，“若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ”
取n=4时，抛物线l的焦点为F（ $\text{[math]}$ ，0），设P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），P₃（x₃，y₃），P₄（x₄，y₄），分别过P₁、P₂、P₃，P₄作抛物线的准线l的垂线，垂足分别为Q₁、Q₂、Q₃，Q₄，利用抛物线的定义，可得x₁+x₂+x₃+x₄=2p，从而可得结论．
点评：本题考查抛物线的定义，考查向量的运算，解题的关键是正确运用抛物线的定义，难度较大．