Question

（本小题满分12分）

    如图矩形ABCD中，AB=2BC=2,M是AB中点，沿MD将AMD折起，

（1）在DC上是否存在一点N，不论折到什么位置（不与平面MBCD重合），总有∥平面?

   （2）当二面角的大小为60°时，求四棱锥的体积

Answer 1

解：（1）当N为DC中点时，连结AN，BN,

           ∵MB∥DC,且MB=DC=DN,  ∴MBND为平行四边形   ∴MD∥BN,………2分

又MD平面ABN，且BN平面ABN，因此∥平面………………4分

    （2）取MD的中点E，连结AE,NE，取EN中点F，连结AF

          ∵由图1，在矩形ABCD中，AD=AM=1,∴AMND是正方形，

         ∴在图2中，AE⊥DM,  NE⊥DM，故∠AEN是二面角的平面角……6分

         即∠AEN=60°，又AE=NE, ∴△AEN是正三角形，所以AF⊥EN,又因为DM⊥AF,

         ∴DM⊥平面MBCD, 易得，………………………10分

         ∴……………………………12分