Question

函数f（x）=x²+ax+3，当x∈[-2，2]时，f（x）≥a恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：由f（x）≥a恒成立对一切-2≤x≤2恒成立可得，下面对x进行分类讨论：①当x∈（1，2]时，a≥

-x2- 3

x-1

在x∈（1，2]恒成立；②当x∈[-2，1）时，a≤

-x2- 3

x-1

在x∈[-2，1）恒成立．分别求得a的范围，最后综上所述，即得实数a的取值范围．

解答：解：∵函数f（x）=x²+ax+3，当x∈[-2，2]时，f（x）≥a恒成立，
∴（x-1）a≥-x²-3，当x∈[-2，2]时恒成立，
①当x∈（1，2]时，
∴a≥

-x2- 3

x-1

在x∈（1，2]恒成立
令 g(x)=

-x2-3

x-1

，x∈（1，2]即a≥g（x）_max
而 g(x)=

-x2-3

x-1

在x∈（1，2]上的最大值为：-7，
∴a≥-7；
②当x∈[-2，1）时，
∴a≤

-x2- 3

x-1

在x∈[-2，1）恒成立
令 g(x)=

-x2-3

x-1

，x∈[-2，1），
即a≤g（x）_min
而 g(x)=

-x2-3

x-1

在∈[-2，1）上的最小值为

7

3

，
∴a≤

7

3

；
综上所述，实数a的取值范围：[-7，

7

3

]．

点评：本题主要考查了函数恒成立问题，此类问题常构造函数，转化为求解函数的最值问题：a＞f（x）（或a＜f（x））恒成立?a＞f（x）_max（或a＜f（x）_min），体现了转化思想在解题中的应用．