Question

在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c．已知cos2A+3cosA=1
（1）求∠A的大小；
（2）若△ABC的面积S=5

3

，b=5，求a，c的值．

Answer 1

分析：（1）根据二倍角的余弦公式化简题中的等式，可得2cos²A+3cosA-2=0，再根据△ABC中cosA∈（-1，1），解出 cosA=

1

2

，从而得到∠A=

π

3

；
（2）由（1）得∠A=

π

3

，根据△ABC的面积S=5

3

，利用面积公式算出c=4，再利用余弦定理加以计算，可得边a的长度．

解答：解：（1）∵cos2A+3cosA=1，
∴2cos²A-1+3cosA=1，即2cos²A+3cosA-2=0，解之得cosA=

1

2

或-2．
又∵A是三角形的内角，可得cosA∈（-1，1），
∴cosA=-2不符合题意舍去，得cosA=

1

2

，可得∠A=

π

3

；
（2）∵∠A=

π

3

，
∴△ABC的面积S=

1

2

bcsinA=

1

2

×5×c×

3

2

=5

3

，解之得c=4．
根据余弦定理，得a=

b2+c2-2bccsA

=

52+42-2×5×4×cos π 3

=

21

．
综上所述，a=

21

且c=4．

点评：本题给出三角形的角A满足的三角等式，求A的大小并在已知边b和三角形的面积情况下求边a、c之长．着重考查了二倍角的余弦公式、三角形的面积公式和余弦定理等知识，属于中档题．