Question

已知椭圆的中心在坐标原点，两个顶点在直线x+2y-4=0上，F₁是椭圆的左焦点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设点P是椭圆上的一个动点，求线段PF₁的中点M的轨迹方程；
（3）若直线l：y=x+m与椭圆交于点A，B两点，求△ABO面积S的最大值及此时直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）由题意可设椭圆的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．由两个顶点在直线x+2y-4=0上，故分别令x=0，y=0，可得a，b．
（2）由（1）可得：c=

a2-b2

=2

3

，F1(-2

3

，0)．设线段PF₁的中点M（x，y），则P（2x+2

3

，2y）．由点P是椭圆上的一个动点，代入椭圆方程即可．
（3）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立

y=x+m x2 16 + y2 4 =1

，消去y得到关于x的一元二次方程，由题意可得△＞0，及根与系数的关系，即可得到|AB|=

2[(x1+x2)2-4x1x2]

．再利用点到直线的距离公式可得点O到直线l的距离d=

|m|

2

．即可得到S_△OAB=

1

2

d•|AB|=

2|m| 20-m2

5

，两边平方，再利用基本不等式即可得出其最大值，进而得到直线l的方程．

解答：解：（1）由题意可设椭圆的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．
∵两个顶点在直线x+2y-4=0上，∴分别令x=0，可得b=y=2；令y=0，可得a=x=4．
∴椭圆的标准方程为

x2

16

+

y2

4

=1；
（2）由（1）可得：c=

a2-b2

=2

3

．
∴F1(-2

3

，0)．
设线段PF₁的中点M（x，y），则P（2x+2

3

，2y）．
∵点P是椭圆上的一个动点，∴

(2x+2 3 )2

16

+

4y2

4

=1．
化为

(x+ 3 )2

4

+y2=1．
（3）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立

y=x+m x2 16 + y2 4 =1

，消去y得到5x²-8mx+4m²-16=0．
∵直线l：y=x+m与椭圆交于点A，B两点，∴△＞0，即m²＜20．（*）
∴x1+x2=

8m

5

，x1x2=

4m2-16

5

．
∴|AB|=

2[(x1+x2)2-4x1x2]

=

2×[( 8m 5 )2-4× 4m2-16 5 ]

=

4 40-2m2

5

．
又点O到直线l的距离d=

|m|

2

．
∴S_△OAB=

1

2

d•|AB|=

2|m| 20-m2

5

，
∴

S

2 △OAB

=

4m2(20-m2)

5

≤

4

5

(

m2+20-m2

2

)2=80，当且仅当m²=10时取等号，满足（*）．
∴S△OAB≤4

5

．
∴△ABO面积S的最大值为4

5

．
此时直线l的方程为y=x±

10

．

点评：本题中考查了椭圆的方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质等基础知识与基本技能，考查了分析问题和解决问题的能力、推理能力和计算能力．