题目内容

设f′（x）和g′（x）分别是f（x）和g（x）的导函数，若f′（x）g′（x）≤0在区间I上恒成立，则称f（x）和g（x）在区间I上单调性相反．若函数f（x）=
1
3
x3-2ax与g（x）=x2+2bx在开区间（a，b）上单调性相反（a＞0），则b-a的最大值为
1
2
1
2
．
分析：由条件知g′（x）＞0恒成立，得f′（x）≤0恒成立，从而求出a、b的取值范围，建立b-a的表达式，求出最大值．
解答：解：∵f（x）=
1
3
x3-2ax，g（x）=x2+2bx，
∴f′（x）=x2-2a，g′（x）=2x+2b；
由题意得f′（x）g′（x）≤0在（a，b）上恒成立，
∵a＞0，∴b＞a＞0，∴2x+2b＞0恒成立，
∴x2-2a≤0恒成立，即-
2a
≤x≤
2a
；
又∵0＜a＜x＜b，∴b≤
2a
，
即0＜a≤
2a
，解得0＜a≤2；
∴b-a≤
2a
-a=-(
a
-
2
2
)2+
1
2
，
当a=
1
2
时，取“=”，
∴b-a的最大值为
1
2
．
故答案为：
1
2
．
点评：本题考查了利用导数判定函数的单调性问题，也考查了不等式的解法问题，是易错题．
练习册系列答案
相关题目
8、设f（x）和g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若对任意的x∈[a，b]，都有|f（x）-g（x）|≤1，则称f（x）和g（x）在[a，b]上是“密切函数”，[a，b]称为“密切区间”，设f（x）=x2-3x+4与g（x）=2x-3在[a，b]上是“密切函数”，则它的“密切区间”可以是（　　）
设f（x）和g（x）都是定义域为R的奇函数，不等式f（x）＞0的解集为（m，n），不等式g（x）＞0的解集为（
m
2
，），其中0＜m＜
n
2
，则不等式f（x）•g（x）＞0的解集是（　　）
A、（m，
n
2
）
B、（m，
n
2
）∪（-
n
2
，-m）
C、（
m
2
，
n
2
）∪（-n，-m）
D、（
m
2
，
n
2
）∪（-
n
2
，-
m
2
）
设f（x）和g（x）是定义在R上的两个函数，x1、x2是R上任意两个不等的实根，设|f（x1）+f（x2）|≥|g（x1）+g（x2）|恒成立，且y=f（x）为奇函数，判断函数y=g（x）的奇偶性并说明理由．
设f（x）和g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若对任意的x∈[a，b]，都有|f（x）-g（x）|≤1，则称f（x）和g（x）在[a，b]上是“密切函数”，[a，b]称为“密切区间”，设f（x）=x2-3x+4与g（x）=2x-3在[a，b]上是“密切函数”，则它的“密切区间”可以是（ ）
A．[1，4]
B．[2，3]
C．[3，4]
D．[2，4]

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