题目内容

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且（a+b+c）（b+c-a）=3bc．
（1）求角A的度数；
（2）若2b=3c，求tanC的值．

解：（1）∵（a+b+c）（b+c-a）=3bc，
∴（b+c）²-a²=3bc，
∴a²=b²+c²-bc，
由余弦定理得：2cosA=1，
∴cosA= $\text{[math]}$ ，又0＜A＜π，
∴A= $\text{[math]}$ ．
（2）∵2b=3c，
∴由正弦定理得：2sinB=3sinC，又A= $\text{[math]}$ ，
∴B+C=π-A= $\text{[math]}$ ，
∴B= $\text{[math]}$ -C，
∴2sin（ $\text{[math]}$ -C）=3sinC，即2[ $\text{[math]}$ cosC-（- $\text{[math]}$ ）sinC]=3sinC，
∴tanC= $\text{[math]}$ ．
分析：（1）将（a+b+c）（b+c-a）=3bc展开，利用余弦定理可求得角A的度数；
（2）结合（1）的结论，再利用正弦定理与三角函数间的关系即可求得tanC的值．
点评：本题考查余弦定理与正弦定理，考查三角函数间的关系，利用B= $\text{[math]}$ -C代入是关键，属于中档题．