Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的长轴长是短轴长的

2

倍，斜率为1的直线l与椭圆相交，截得的弦长为正整数的直线l恰有3条，则b的值为（　　）

• A、

  2

  2

• B、

  2

• C、

  3

  2

• D、

  6

  2

Answer 1

分析：椭圆即 

x2

2b2

+

y2

b2

=1(b＞0)，由题意可得这三条弦长分别为1，2，1，且过原点的弦长等于2，把 y=x
代入椭圆化简并利用根与系数的关系可得 x₁+x₂=0，x₁•x₂=

-2b2

3

，故
2=

2

•

(x1+ x2)2-4x1• x2

=

2

•

0+ 8b2 3

，解得正数b的值即为所求．

解答：解：由题意可得 a=

2

b，椭圆即 

x2

2b2

+

y2

b2

=1(b＞0)，由题意可得这三条弦长分别为1，2，1，
且过原点的弦长等于2．  把 y=x代入椭圆可得  3x²=2b²，∴x₁+x₂=0，x₁•x₂=

-2b2

3

，
故有 2=

2

•

(x1+ x2)2-4x1• x2

=

2

•

0+ 8b2 3

，∴b²=

3

4

，b=

3

2

，
故选 C．

点评：本题考查椭圆的标准方程，以及简单性质的应用，判断过原点的弦长等于2，时间诶体的关键．