Question

(本题满分15分)四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，E为AD的中点，ABCE为菱形，∠BAD＝120°，PA＝AB，G，F分别是线段CE，PB上的动点，且满足＝＝λ∈(0，1)．

(Ⅰ) 求证：FG∥平面PDC；
(Ⅱ) 求λ的值，使得二面角F－CD－G的平面角的正切值为．

Answer 1

方法一：
(Ⅰ) 证明：如图以点A为原点建立空间直角坐标系A－xyz，其中K为BC的中点，

不妨设PA＝2，则，，
，，，．
由，得
，，
，
设平面的法向量=(x，y，z)，则
，，
得 
可取=(，1，2)，于是
，故，又因为FG平面PDC，即//平面．
(Ⅱ) 解：，，
设平面的法向量，则，，
可取，又为平面的法向量．
由，因为tan＝，cos＝，
所以，解得或(舍去)，
故．                         
方法二：
(Ⅰ) 证明：延长交于，连，．得平行四边形，则// ，

所以．
又，则，
所以//．
因为平面，平面，
所以//平面．    …………6分
(Ⅱ)解：作FM于，作于，连．
则，为二面角的平面角．
，不妨设，则，，
由  得 ，即 ．

略