Question

若关于x的方程-kx-3+2k=0有且只有两个不同的实数根，则实数k的取值范围是    ．

Answer 1

【答案】分析：根据方程的根与对应函数的零点的关系，我们可用图象法解答本题，即关于x的方程-kx-3+2k=0有且只有两个不同的实数根，则函数y=的图象与y=kx+3-2k的图象有且只有两个交点，在同一坐标系中画出函数y=的图象与y=kx+3-2k的图象，分析图象即可得到答案．
解答：解：若关于x的方程-kx-3+2k=0有且只有两个不同的实数根，
则函数y=的图象与y=kx+3-2k的图象有且只有两个交点
∵函数y=kx+3-2k的图象恒过（2，3）点
故在同一坐标系中画出函数y=的图象与y=kx+3-2k的图象如下图所示：

由图可知
当k=时，直线与圆相切，
当k=时，直线过半圆的左端点（-2，0）
若函数y=的图象与y=kx+3-2k的图象有且只有两个交点，则＜k≤
故答案为：＜k≤
点评：本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，方程的根与函数零点的关系，函数的图象，其中在确定无法解答的方程问题时，将其转化为确定对应函数的零点，利用图象法解答是最常用的方法．