Question

设曲线C₁：

x2

a2

+y2=1（a为正常数）与C₂：y²=2（x+m） 在x轴上方仅有一个公共点P．
（1）求实数m的取值范围（用a表示）；
（2）O为原点，若C₁与x轴的负半轴交于点A，当0＜a＜

1

2

时，试求△OAP的面积的最大值（用a表示）．

Answer 1

（1）由

x2 a2 +y2=1 y2=2(x+m)

消去y得，x²+2a²x+2a²m-a²=0．              ①
设f（x）=x²+2a²x+2a²m-a²，问题（1）转化为方程①在x∈（-a，a）上有唯一解或等根．
只须讨论以下三种情况：
1°△=0得m=

a2+1

2

，此时x_p=-a²，当且仅当-a＜-a²＜a，即0＜a＜1时适合；
2°f（a）•f（-a）＜0当且仅当-a＜m＜a；
3°f（-a）=0得m=a，此时 x_p=a-2a²，当且仅当-a＜a-2a²＜a，即0＜a＜1时适合．
f（a）=0得m=-a，此时 x_p=-a-2a²，由于-a-2a²＜-a，从而m≠-a．
综上可知，当0＜a＜1时，m=

a2+1

2

或-a＜m≤a；当a≥1时，-a＜m＜a．
（2）△OAP的面积S=

1

2

ay_p．
∵0＜a＜

1

2

，∴-a＜m≤a时，0＜-a2+a

a2+1-2m

＜a，由唯一性得x_p=-a2+a

a2+1-2m

．
显然当m=a时，x_p取值最小．
由于x_p＞0，从而yp=

1- x 2p a2

取值最大，此时y_p=2

a-a2

，∴S=a

a-a2

．
当m=

a2+1

2

时，x_p=-a²，y_p=

1-a2

，此时S=

1

2

a

1-a2

．
下面比较a

a-a2

与

1

2

a

1-a2

的大小：
令a

a-a2

=

1

2

a

1-a2

，得a=

1

3

．
故当0＜a≤

1

3

时，a

a(1-a)

≤

1

2

a

1-a2

，此时S_max=

1

2

a

1-a2

．
当

1

3

＜a＜

1

2

时，a

a(1-a)

＞

1

2

a

1-a2

，此时S_max=a

a-a2

．…（20分）