题目内容

已知数列{a_n}的前n项和 $数学公式$ ，其中a、b是非零常数，则存在数列{x_n}、{y_n}使得

A.
a_n=x_n+y_n，其中{x_n}为等差数列，{y_n}为等比数列
B.
a_n=x_n+y_n，其中{x_n}和{y_n}都为等差数列
C.
a_n=x_n•y_n，其中{x_n}为等差数列，{y_n}都为等比数列
D.
a_n=x_n•y_n，其中{x_n}和{y_n}都为等比数列

C
分析：由题意知a_n=S_n-S_n-1=a[2-（ $\text{[math]}$ ）^n-1]-b[2-（n+1）（ $\text{[math]}$ ）^n-1]-a[2-（ $\text{[math]}$ ）^n-2]+b[2-n（ $\text{[math]}$ ）^n-2]=a（ $\text{[math]}$ ）^n-1+b[（ $\text{[math]}$ ）^n-1-n（ $\text{[math]}$ ）^n-1]=[a-（n-1）b]（ $\text{[math]}$ ）^n-1．即可得答案．
解答：当n=1时，a₁=S₁=a，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1
=a[2-（ $\text{[math]}$ ）^n-1]-b[2-（n+1）（ $\text{[math]}$ ）^n-1]-a[2-（ $\text{[math]}$ ）^n-2]+b[2-n（ $\text{[math]}$ ）^n-2]
=a（ $\text{[math]}$ ）^n-1+b[（ $\text{[math]}$ ）^n-1-n（ $\text{[math]}$ ）^n-1]
=[a-（n-1）b]（ $\text{[math]}$ ）^n-1，
∴a_n=[a-（n-1）b]（ $\text{[math]}$ ）^n-1（n∈N^*）
故选C．
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．