Question

已知函数f(x)=x2+

a

x

-1( x≠0，常数a∈R）．
（1）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）若a=16，判断函数函数f（x）在x∈[2，+∞）时的单调性，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）利用函数的奇偶性的定义，分a=0和 a≠0两种情况，分别判断函数的奇偶性．
（2）利用函数的单调性的定义证明函数f（x）在区间[2，+∞）上为增函数．

解答：解：（1）当a=0时，对?x∈（-∞，0）∪（0，+∞），有f（-x）=（-x）²-1=x²-1=f（x），
所以，f（x）为其定义域上的偶函数．
当a≠0时，f(2)=3+

a

2

，f(-2)=3-

a

2

，由f（-2）+f（2）=6≠0得，f（x）不是奇函数；
由f（-2）-f（2）=-a≠0得，f（x）不是偶函数．
综上，当a≠0时，f（x）既不是奇函数也不是偶函数．
（2）a=16时，f（x）在区间[2，+∞）上为增函数，
证明如下：设2≤x₁＜x₂，
则f(x1)-f(x2)=(x12+

16

x1

-1)-(x22+

16

x2

-1)=x12-x22+

16

x1

-

16

x2

=(x1-x2)(x1+x2)+

16(x2-x1)

x1x2

=(x1-x2)[(x1+x2)-

16

x1x2

]=(x1-x2)•

(x1+x2)x1x2-16

x1x2

，
因为2≤x₁＜x₂，
所以x₁-x₂＜0，且x₁+x₂＞4，x₁x₂＞4，
故有（x₁+x₂）x₁x₂＞16，
所以(x1-x2)•

(x1+x2)x1x2-16

x1x2

＜0，
也即f（x₁）-f（x₂）＜0，
f（x₁）＜f（x₂），
由单调性定义知，f（x）在区间[2，+∞）上为增函数．

点评：本题主要考查函数的奇偶性、单调性的判断和证明方法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．