Question

（2013•宁德模拟）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，丨φ丨＜

π

2

）在一个周期内的图象如图所示，M，N是图象与x轴的交点，P是图象与y轴的交点，PM=2PN=

7

，cos∠MPN=

7

14

．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及点P的坐标；
（Ⅱ）求函数g（x）=f（x）+f（-x）的单调递减区间．

Answer 1

分析：（Ⅰ）△PMN中，由余弦定理求得MN的值，再根据△PMN的面积等于

1

2

•MN•OP=

1

2

•PM•PN•sin∠MPN，求得OP的值，可得点P的坐标．
（Ⅱ）根据周期性求得ω的值，再根据点P在f（x）=2sin（ωx+φ）的图象上，求得φ的值，可得函数f（x）的解析式，从而求得函数g（x）=f（x）+f（-x）的解析式．再根据g（x）的解析式求得它的单调减区间．

解答：解：（Ⅰ）△PMN中，由余弦定理可得 MN²=PM²+PN²-2PM•PN•cos∠MPN=4+7-2×2×

7

×

7

14

=9，∴MN=3．
∴周期等于2MN=6．
由于△PMN的面积等于

1

2

•MN•OP=

1

2

•PM•PN•sin∠MPN，∴

1

2

×3×OP=

1

2

×2×

7

×

7

14

，∴OP=

3

，
故点P的坐标为（0，

3

）．
（Ⅱ）根据MN=

1

2

×

2π

ω

=3，ω=

π

3

．再根据点P在f（x）=2sin（ωx+φ）的图象上，可得2sinφ=

3

，即sinφ=

3

2

．
再由 丨φ丨＜

π

2

，可得φ=

π

3

，∴f（x）=2sin（

π

3

x+

π

3

）．
由此可得函数g（x）=f（x）+f（-x）=2sin（

π

3

x+

π

3

）+2sin（-

π

3

x+

π

3

）
=2sin

π

3

xcos

π

3

+2cos

π

3

xsin

π

3

-2sin

π

3

xcos

π

3

+2cos

π

3

xsin

π

3

=4cos

π

3

xsin

π

3

=2

3

cos

π

3

x．
令 2kπ≤

π

3

x≤2kπ+π，k∈z，求得 6k≤x≤6kπ+3，k∈z．
故函数的g（x）的减区间为[6k，6kπ+3]，k∈z．

点评：本题主要考查余弦定理、余弦函数的单调性，两角和差的正弦公式，三角函数的周期性和求法，属于中档题．