Question

（2013•深圳二模）已知函数f（x）=lnx-ax²-（1-2a）x（a＞0）．
（1）求函数f（x）的最大值；
（2）求函数f（x）在区间（

1

ea

，2）上的零点的个数（e为自然对数的底数）；
（3）设函数y=f（x）图象上任意不同的两点为A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），线段AB的中点为C（x₀，y₀），记直线AB的斜率为k，证明：k＞f′（x₀）．

Answer 1

分析：（1）首先求出函数的导函数，然后确定函数的极值，此题函数只有一个增区间，一个减区间，函数的极大值就是最大值；
（2）由（1）可知函数f（x）在区间（

1

ea

，2）上在x=1时取得最大值，当x=

1

ea

和x=2时的函数值君小于0，所以由最大值的符号分析函数f（x）在区间（

1

ea

，2）上的零点的个数；
（3）求出直线AB的斜率为k和f′（x₀），整理后把证明k＞f′（x₀）转化为证明

ln x1 x2

x1-x2

＞

2

x1+x2

．构造函数g（x）=lnx-

2(x-1)

x+1

 （x＞1），利用导数证明该函数在（1，+∞）上为增函数征得结论．

解答：（1）解：由f（x）=lnx-ax²-（1-2a）x（a＞0），
得f′(x)=

1

x

-2ax-1+2a=

-(x-1)(2ax+1)

x

．
函数f（x）的定义域为（0，+∞），
当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）在（0，1）上为增函数；
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）在（1，+∞）上为减函数．
∴f（x）_max=f（1）=ln1-a-1+2a=a-1．
（2）解：∵a＞0，∴e^a＞1，0＜

1

ea

＜1．
由（1）知：f（x）在(

1

ea

，1)上为增函数，在（1，2）上为减函数．
∴函数f（x）在区间（

1

ea

，2）上的f（1）=a-1．
∵f(

1

ea

)=ln

1

ea

-a•(

1

ea

)2-(1-2a)•

1

ea

=-a-

a

e2a

+

2a-1

ea

=

-a•e2a+2a•ea-ea-a

e2a

=

a•ea(a-ea)-ea-a

e2a

＜0．
f（2）=ln2-4a-2+4a=ln-2＜0．
∴当0＜a＜1时，函数f（x）在区间（

1

ea

，2）上的零点的个数为0；
当a=1时，函数f（x）在区间（

1

ea

，2）上的零点的个数为1；
当a＞1时，函数f（x）在区间（

1

ea

，2）上的零点的个数为2．
（3）证明：不妨设x₁＞x₂＞0，
则

f(x1)-f(x2)

x1-x2

=

lnx1-lnx2+ax22-ax12+(1-2a)x2-(1-2a)x1

x1-x2

=

ln x1 x2

x1-x2

-a(x1+x2)-(1-2a)．
f′(x0)=f′(

x1+x2

2

)=

-( x1+x2 2 -1)(2a• x1+x2 2 +1)

x1+x2 2

=

2

x1+x2

-a(x1+x2)+2a-1．
令g（x）=lnx-

2(x-1)

x+1

 （x＞1）．
g′(x)=

1

x

-

2(x+1)-2(x-1)

(x+1)2

=

(x-1)2

x(x+1)2

＞0．
∴g（x）在（1，+∞）上为增函数，
∴g（x）＞g（1）=0．
则g(

x1

x2

)=ln

x1

x2

-

2( x1 x2 -1)

x1 x2 +1

＞0，整理得：

ln x1 x2

x1-x2

＞

2

x1+x2

．
∴

ln x1 x2

x1-x2

-a(x1+x2)-(1-2a)＞

2

x1+x2

-a(x1+x2)+2a-1．
即k＞f′（x₀）．

点评：本题主要考查函数单调性的应用、导数在最大值、最小值问题中的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，考查了函数构造法，属于高考试卷中的压轴题．