Question

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中对角线B₁D与平面A₁BC₁所成的角大小为（　　）

• A、

  π

  6

• B、

  π

  4

• C、

  π

  3

• D、

  π

  2

Answer 1

分析：以DA为x轴，以DC为y轴，以DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出对角线B₁D与平面A₁BC₁所成的角大小．

解答：解：如图，以DA为x轴，以DC为y轴，以DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，
则D（0，0，0），B₁（1，1，1），A₁（1，0，1），
B（1，1，0），C₁（0，1，1），
∴

DB1

=（1，1，1），

BA1

=（0，-1，1），

BC1

=（-1，0，1），
设平面A₁BC₁的法向量为

n

=(x，y，z)，
则

n

•

BA1

=0，

n

•

BC1

=0，
∴

-y+z=0 -x+z=0

，∴

n

=（1，1，1），
设对角线B₁D与平面A₁BC₁所成的角为θ，
则sinθ=|cos＜

DB1

，

n

＞|=|

3

3 • 3

|=1，
∴θ=

π

2

．
故选D．

点评：本题考查直线与平面所成角的大小的求法，解题时要注意空间思维能力的培养，注意向量法的合理运用．