题目内容
已知f（x）=lg（ax-bx）（a，b为常数），
①当a，b＞0且a≠b时，求f（x）的定义域；
②当a＞1＞b＞0时，判断f（x）在定义域上的单调性，并用定义证明．
①当a，b＞0且a≠b时，求f（x）的定义域；
②当a＞1＞b＞0时，判断f（x）在定义域上的单调性，并用定义证明．
分析：①定义域即ax-bx＞0，由此能求出其定义域．
②取x1＞x2＞0，再用定义证明f（x1）-f（x2）＜0．即：取值、作差、变形、判断符号、得出结论．
②取x1＞x2＞0，再用定义证明f（x1）-f（x2）＜0．即：取值、作差、变形、判断符号、得出结论．
解答：解：①ax-bx＞0⇒ax＞bx⇒(
)x＞1，若a＞b＞0，则
＞1，⇒x＞0为f（x）的定义域．
若0＜a＜b，则0＜
＜1⇒x＜0为f（x）定义域．
②设0＜x1＜x2（∵a＞b）
∵a＞1，∴ax1＜ax2；
∵0＜b＜1，∴bx1＞bx2⇒-bx1＜-bx2⇒ax1-bx1＜ax2-bx2，
即可⇒lg（ax1-bx1）＜lg（ax2-bx2），即f（x1）＜f（x2），
∴f（x）为增函数．
| a |
| b |
| a |
| b |
若0＜a＜b，则0＜
| a |
| b |
②设0＜x1＜x2（∵a＞b）
∵a＞1，∴ax1＜ax2；
∵0＜b＜1，∴bx1＞bx2⇒-bx1＜-bx2⇒ax1-bx1＜ax2-bx2，
即可⇒lg（ax1-bx1）＜lg（ax2-bx2），即f（x1）＜f（x2），
∴f（x）为增函数．
点评：本题考查对数函数的性质和应用，解题时要认真审题，合理求解，注意公式的灵活运用．
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