Question

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，向量

m

=(cosA，1)，

n

=(1，1-

3

sinA)，且

m

⊥

n

．
（1）求∠A的大小；（2）若b+c=

3

a，求sin(B+

π

6

)的值．

Answer 1

分析：（1）由

m

⊥

n

可得

m

•

n

=0，即cosA+1-

3

sinA=0，然后利用两角和的余弦公式化简求解．
（2）首先利用正弦定理化边为角，可得2RsinB+2RsinC=

3

2RsinA，然后结合已知条件，利用诱导公式及两角和与差的正弦公式求解即可．

解答：解：（1）∵

m

⊥

n

，
∴

m

•

n

=cosA+1-

3

sinA=0，
∴cos（A+

π

3

）=-

1

2

，
∵A∈（0，π），
∴A+

π

3

∈(

π

3

，

4π

3

)，
∴A+

π

3

=

2π

3

，
∴A=

π

3

．
（2）∵b+c=

3

a，
∴由正弦定理得2RsinB+2RsinC=

3

2RsinA，
即sinB+sinC=

3

sinA，
又∵A=

π

3

，
∴sinB+sin（

2π

3

-B）=

3

2

，
即

3

2

sinB+

3

2

cosB=

3

2

，
∴sin（B+

π

6

）=

3

2

．

点评：本题考查了正弦定理、两角和与差的正弦公式、余弦公式及向量垂直的充要条件等基础知识，考查了基本运算能力．