题目内容
设[x]是不超过x的最大整数，则[log31]+[log32]+[log33]+[log34]+…+[log3500]=
2142
2142
．分析：先根据对数的运算性质判断[log31]、[log32]、[log33]…[log3500]的大小，最后加起来即可．
解答：解：由题意可知：设[log3a]=b
log3a=b+x，a，b为整数
a=3b+x，0≤x＜1，
因为y=3x为单调增函数
当a在[1，2]时
因为30=1，31=3
则0＜b+x＜1
所以b=0时，[log31]=[log32]=0
当a在[3，8]时
同理1＜b+x＜2
b=1时，[log33]=[log34]=…=[log38]=1
b=2时，[log39]=[log310]=…=[log326]=2．
b=3时，[log327]=[log328]=…=[log380]=3．
b=4时，[log381]=[log382]=…=[log3242]=4．
b=5时，[log3243]=[log3244]=[log3245]=…=[log3500]=5．
∴[log31]+[log32]+[log33]+[log34]+…+[log3500]
=0×（31-30）+1×（32-31）+2×（33-32）+3×（34-33）+4×（35-34）+5×（500-243+1）
=1×6+2×18+3×54+4×162+5×257
=1×6+2×18+3×54+4×162+5×257=2142．
故答案为：2142．
log3a=b+x，a，b为整数
a=3b+x，0≤x＜1，
因为y=3x为单调增函数
当a在[1，2]时
因为30=1，31=3
则0＜b+x＜1
所以b=0时，[log31]=[log32]=0
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b=2时，[log39]=[log310]=…=[log326]=2．
b=3时，[log327]=[log328]=…=[log380]=3．
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故答案为：2142．
点评：本题考查对数的运算法则，解题时要注意公式的灵活运用，同时要注意总结规律．
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