题目内容

（12分）定义在区间(－1，1)上的函数f (x)满足：①对任意的x，y∈(－1，1)，都有f (x) + f (y) =; ②当x∈(－1，0)，f (x) > 0.

（1）求证f (x)为奇函数；

（2）试解不等式：f (x) + f (x－1) .

【答案】

（1）略

（2）不等式的解集为

【解析】解：（1）解：令x = y = 0，则

f (0) + f (0) = ∴ f (0) = 0

令x∈(－1, 1) ∴－x∈(－1, 1)

∴ f (x) + f (－x) = f () = f (0) = 0

∴ f (－x) =－f (x)

∴ f (x) 在(－1，1)上为奇函数…………………4分

（2）解：令－1< x₁ < x₂ < 1

则f (x₁) －f (x₂) = f (x₁) + f (－x₂) =

∵x₁－x₂ < 0，1－x₁x₂ > 0

∴ ∴ > 0

∴ f (x₁) > f (x₂) ∴ f (x) 在(－1，1)上为减函数

又f (x) + f (x－1) >

…………………8分

∴ 不等式化为

或

∴ 不等式的解集为…………………12分

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（1）证明：f（x）在[-1，1]上是减函数；
（2）解不等式：f（x+1）+f（x²-1）＞0；
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已知f（x）是定义在区间[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若m，n∈[-1，1]，m≠n时，有 $数学公式$
（1）若满足f（x+ $数学公式$ ）+f（x-1）＜0，求x的取值范围
（2）若f（x）≤t²-2at+1对任意的x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求实数t的取值范围．

20.设y=f（x）是定义在区间［－1，1］上的函数，且满足条件：

（ⅰ）f（－1）=f（1）=0;

（ⅱ）对任意的u，v∈［－1，1］，都有|f（u）－f（v）|≤|u－v|.

（Ⅰ）证明：对任意的x∈［－1，1］，都有x－1≤f（x）≤1－x;

（Ⅱ）证明：对任意的u,v∈［－1，1］,都有|f（u）－f（v）|≤1；

（Ⅲ）在区间［－1，1］上是否存在满足题设条件的函数y=f（x），且使得

若存在，请举一例；若不存在，请说明理由.

20.设y=f（x）是定义在区间［－1，1］上的函数，且满足条件：

（ⅰ）f（－1）=f（1）=0；

（ⅱ）对任意的u，v∈［－1，1］，都有|f（u）－f（v）|≤|u－v|.

（Ⅰ）证明：对任意的x∈［－1，1］，都有x－1≤f（x）≤1－x；

（Ⅱ）判断函数g（x）=，是否满足题设条件；

（Ⅲ）在区间［－1，1］上是否存在满足题设条件的函数y=f（x），且使得对任意的u，v∈［－1，1］，都有|f（u）－f（v）|=|u－v|.

若存在，请举一例；若不存在，请说明理由.

已知f（x）是定义在区间[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若m，n∈[-1，1]，m≠n时，有

（1）若满足f（x+

）+f（x-1）＜0，求x的取值范围
（2）若f（x）≤t²-2at+1对任意的x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求实数t的取值范围．