Question

定义在区间[-1，1]上的奇函数f（x）满足：对任意a，b∈[-1，1]，a+b≠0，都有

f(a)+f(b)

a+b

＜0，f（1）=-3．
（1）证明：f（x）在[-1，1]上是减函数；
（2）解不等式：f（x+1）+f（x²-1）＞0；
（3）若不等式f（x）≤m²+2am对任意x，a∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）依题意，可求得a，b∈[-1，1]时，

f(a)-f(b)

a-b

＜0，从而可证f（x）在[-1，1]上是减函数；
（2）利用f（x）在[-1，1]上是减函数，解不等式组-1≤x²-1＜-x-1≤1即可求得其解集；
（3）依题意知，m²+2am≥3，a∈[-1，1]恒成立，构造函数g（a）=2ma+m²，a∈[-1，1]，由

g(-1)≥3 g(1)≥3

即可求得实数m的取值范围．

解答：证明：（1）∵函数f（x）是区间[-1，1]上的奇函数，
∴f（a）-f（b）=f（a）+f（-b），
∵对任意a，b∈[-1，1]，a+b≠0，都有

f(a)+f(b)

a+b

＜0，
∴当a，b∈[-1，1]，

f(a)+f(-b)

a+(-b)

=

f(a)-f(b)

a-b

＜0，
即奇函数f（x）曲线上任意两点（a，f（a））与（b，f（b））的斜率为负值，
∴f（x）在[-1，1]上是减函数；
（2）由f（x+1）+f（x²-1）＞0得：f（x²-1）＞-f（x+1）=f（-x-1），
∵f（x）在[-1，1]上是减函数，
∴-1≤x²-1＜-x-1≤1，
解得：-1＜x＜0，
∴不等式：f（x+1）+f（x²-1）＞0的解集为（-1，0）．
 （3）∵不等式f（x）≤m²+2am对任意x，a∈[-1，1]恒成立，
∴m²+2am≥f（x）_max（-1≤x≤1）恒成立，
又f（x）在[-1，1]上是减函数，f（1）=-3，
∴当x∈[-1，1]时，f（x）_max=f（-1）=-f（1）=3，
∴m²+2am≥3，a∈[-1，1]恒成立，
令g（a）=2ma+m²，a∈[-1，1]，
依题意，

g(-1)≥3 g(1)≥3

，即

m2-2m≥3 m2+2m≥3

，
解得：m≤-3或m≥3，
∴实数m的取值范围是：（-∞，-3]∪[3，+∞）．

点评：本题考查抽象函数及其应用，着重考查函数单调性，考查方程思想、化归思想、构造函数思想的综合运用，属于难题．