Question

（2012•孝感模拟）已知数列{a_n}满足：a₁+a₂+a₃+…+a_n=n-a_n，（n=1，2，3，…）
（Ⅰ）求证：数列{a_n-1}是等比数列；
（Ⅱ）令b_n=（2-n）（a_n-1）（n=1，2，3，…），如果对任意n∈N^*，都有b_n+

1

4

t≤t²，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用a₁+a₂+a₃+…+a_n=n-a_n，再写一式，两式相减，整理可得数列{a_n-1是以-

1

2

为首项，以

1

2

为公比的等比数列；（Ⅱ）先确定b_n=（2-n）（a_n-1）=

n-2

2n

，再利用b_n+1-b_n，确定b_n有最大值b₃=b₄=

1

8

，从而对任意n∈N^*，都有b_n+

1

4

t≤t²，等价于对任意n∈N^*，都有

1

8

≤t²-

1

4

t成立，由此可求实数t的取值范围．

解答：（Ⅰ）证明：由题可知：a₁+a₂+a₃+…+a_n=n-a_n，①
a₁+a₂+a₃+…+a_n+1=n+1-a_n+1，②
②-①可得2a_n+1-a_n=1                     …..（3分）
即：a_n+1-1=

1

2

（a_n-1），又a₁-1=-

1

2

…..（5分）
所以数列{a_n-1是以-

1

2

为首项，以

1

2

为公比的等比数列…．…..（6分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得a_n=1-(

1

2

)n，…（7分）
∴b_n=（2-n）（a_n-1）=

n-2

2n

…（8分）
由b_n+1-b_n=

n+1-2

2n+1

-

n-2

2n

=

3-n

2n+1

＞0可得n＜3
由b_n+1-b_n＜0可得n＞3                 …（9分）
所以b₁＜b₂＜b₃=b₄，b₄＞b₅＞…＞b_n＞…
故b_n有最大值b₃=b₄=

1

8

所以，对任意n∈N^*，都有b_n+

1

4

t≤t²，等价于对任意n∈N^*，都有

1

8

≤t²-

1

4

t成立…（13分）
所以t²-

1

4

t-

1

8

≥0
解得t≥

1

2

或t≤-

1

4

所以，实数t的取值范围是（-∞，-

1

4

]∪[

1

2

，+∞）   …（14分）

点评：本题考查数列递推式，考查等比数列的证明，考查恒成立问题，确定数列的通项，求出数列的最大值是解题的关键．