Question

已知函数g（x）=ax²-2ax+1+b（a＞0）在区间[0，3]上有最大值4和最小值1．设f（x）=

g(x)

x

，
（1）求a、b的值；
（2）若不等式f（2^x）-k•2^x≥0在x∈[-1，1]上有解，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由a＞0可知二次函数的图象是开口向上的抛物线，求出对称轴方程，根据函数在区间[0，3]上有最大值4和最小值1列式求解a，b的值；
（2）利用（1）中求出的函数解析式，把不等式f（2^x）-k•2^x≥0在x∈[-1，1]上有解转化为

3

4

•2x-

3

2

+

7

4•2x

-k•2x≥0在x∈[-1，1]上有解，分离变量k后，构造辅助函数，由k小于等于函数
在x∈[-1，1]上的最大值求k的取值范围，然后利用换元法化为二次函数，利用二次函数求最值．

解答：解：（1）函数g（x）=ax²-2ax+1+b（a＞0），
∵a＞0，对称轴为x=1，所以g（x）在区间[0，3]上是先减后增，
又g（x）在区间[0，3]上有最大值4和最小值1．
故

g(1)=1-2a+1+b=1 g(3)=9a-6a+1+b=4

，解得

a= 3 4 b= 3 4

；
（2）由（1）可得f(2x)=

g(2x)

2x

=

3

4

•2x-

3

2

+

7

4•2x

，
所以f（2^x）-k•2^x≥0在x∈[-1，1]上有解，可化为

3

4

•2x-

3

2

+

7

4•2x

-k•2x≥0在x∈[-1，1]上有解．
即k≤[

3

4

-

3

2

•

1

2x

+

7

4

•(

1

2x

)2]max．
令t=

1

2x

，∵x∈[-1，1]，故t∈[

1

2

，2]，
记h(t)=

7

4

t2-

3

2

t+

3

4

，对称轴为：t=

3

7

，
∵t∈[

1

2

，2]，h（t）单调递增，
故当t=2时，h（t）最大值为

19

4

．
所以k的取值范围是k≤

19

4

．

点评：本题考查了恒成立问题，考查了二次函数的性质，训练了利用二次函数的单调性求最值，考查了数学转化思想方法，解答此题的关键在于把不等式在闭区间上有解转化为分离变量后的参数k小于等于函数在闭区间上的最大值，是学生难以想到的地方，是难题．