Question

4．抛物线y²=-12x的准线与双曲线$\frac{{x}^{2}}{6}$-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1的两条渐近线所围成的三角形的面积等于$3\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根据抛物线的方程算出其准线方程为x=3，由双曲线的方程算出渐近线方程为y=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，从而得到它们的交点M、N的坐标，再利用三角形的面积公式算出△OMN的面积，可得答案．

解答 解：∵抛物线方程为y²=-12x，
∴抛物线的焦点为F（-3，0），准线为x=3．
又∵双曲线$\frac{{x}^{2}}{6}$-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1的渐近线方程为y=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$x．
∵直线x=3与直线y=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$x相交于点M（3，$\sqrt{3}$），N（3，-），
∴三条直线围成的三角形为△MON，以MN为底边、O到MN的距离为高，
可得其面积为S=$\frac{1}{2}$×|MN|×3=$\frac{1}{2}$×[$\sqrt{3}$-（-$\sqrt{3}$）]×3=3$\sqrt{3}$．
故答案为：$3\sqrt{3}$．

点评 本题给出抛物线的准线与双曲线的两条渐近线围成的三角形，求三角形的面积．着重考查了抛物线、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．