Question

已知等差数列{a_n}，a₂=8，前9项和为153．
（Ⅰ）求a₅和a_n；
（Ⅱ）若，证明数列{b_n}为等比数列；
（Ⅲ）若从数列{a_n}中，依次取出第二项，第四项，第八项，…，第2ⁿ项，按原来的顺序组成一个新的数列{c_n}，求数列{c_n}的前n项和T_n

Answer 1

【答案】分析：（1）根据前9项和为153和第五项是前9项的等差中项，得到第五项的值，根据第二项和第五项的值列出方程求得首项和公差，写出通项公式．
（2）要证明数列是等比数列，只要相邻两项之比是常数即可，两项之比是一个常数得到结论．
（3）依次取出原数列的第二项，第四项，第八项，…，第2ⁿ项，按原来的顺序组成一个新的数列{c_n}，则组成一个等比数列，看出首项和公比，代入公式求解．
解答：解：（Ⅰ）设数列{a_n}的公差为d，
则，
∴
∴a₅=17．
∵
∴a_n=3n+2．
（Ⅱ）
∴数列{b_n}是首项为32，公比为8的等比数列．
（Ⅲ）
=3（2+4+8+…+2ⁿ）+2n
=
=3•2ⁿ⁺¹+2n-6．
点评：数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要的地位．高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏．这是一个中档题目，高考时能出现在前三个题的位置．