Question

已知函数f（x）=sinx+cosx，f′（x）是f（x）的导函数．
（1）求函数g（x）=f（x）•f'（x）的最小值及相应的x值的集合；
（2）若f（x）=2f′（x），求tan( x+

π

4

 )的值．

Answer 1

（1）∵f（x）=sinx+cosx，故f'（x）=cosx-sinx，
∴g（x）=f（x）•f'（x）=（sinx+cosx）（cosx-sinx）=cos²x-sin²x=cos2x，
∴当2x=-π+2kπ（k∈Z），即x=-

π

2

+kπ ( k∈Z )时，g（x）取得最小值-1，
相应的x值的集合为{ x|x=-

π

2

+kπ ，  k∈Z }．      
（2）由f（x）=2f′（x），得sinx+cosx=2cosx-2sinx，
∴cosx=3sinx，故tanx=

1

3

，
∴tan( x+

π

4

 )=

tanx+tan π 4

1-tanxtan π 4

=

1+ 1 3

1- 1 3

=2．